Ældre Kosmos og Kontaktbreve

Med fantasiens hjælp er det ikke svært at konstruere meget store tal. Hvor mange sandkorn er der på en sandstrand? Inden for buddhismen findes udtrykket "der er flere Buddha-emner, end der er sandkorn på Ganges strande". Hvor mange sandkorn ville vort kendte univers indeholde, hvis det blev fyldt helt op? Det var netop det spørgsmål, Archimedes (græsk matematiker, ca. 200 år før Kristus) stillede – og besvarede. Matematikken har en meget effektiv måde at udtrykke store tal på, nemlig som potenser¹. Hvis man bruger sandsynligheder, bliver tallene let meget større end de største kendte fysiske mål. Hvor lang tid skal en abe, som trykker på tastaturet på må og få, fortsætte for fejlfrit at have skrevet Shakespeares samlede værker i rigtig rækkefølge. Aben (eller rettere mange generationer af aber) ville sandsynligvis være nødt til at trykke på tastaturet i 10^{10 000 000} år, dvs. et ettal fulgt af ti millioner nuller. Det er et ufatteligt stort tal og kan sammenlignes med den alder, astronomerne angiver for universet, 14 milliarder år eller ca. 10¹⁰ år. Men stadigvæk er disse store tal ikke uendeligt store.

I matematikkens verden er uendeligheden ikke noget entydigt. Allerede i det antikke Grækenland var man bevidst om et uendelighedsbegreb, men man så det som en proces snarere end som noget fastlagt. Da Eudoxos viste, at, som man siger, der findes uendeligt mange primtal², så formulerede han det på den måde, at der ikke findes noget største primtal. Dette er et eksempel på, hvad man i vore dage kalder potentiel uendelighed, til forskel fra aktuel (eller faktisk) uendelighed. Hvis man vil skrive tallet 1/3 som decimaltal, så bliver det 0,333..., hvor prikkerne betyder, at rækken af 3-taller aldrig slutter. Det er nødvendigt med et uendeligt antal 3'ere, for at det skal blive præcis 1/3. Det er et eksempel på en aktuel uendelighed.

Der optræder en del mærkværdigheder, når man betragter uendelige størrelser, fx rækkefølgen af naturlige tal (0, 1, 2, 3, ...). Allerede Galileo Galilei (italiensk fysiker og matematiker 1564-1642) påviste, at der til hvert naturligt tal kan knyttes et kvadrattal (1, 4, 9, ...)³ eller med andre ord, de naturlige tal og kvadrattallene kan parres sammen. Og derfor kan man sige, at der (i en vis forstand) findes lige så mange kvadrattal som naturlige tal, på trods af at kvadrattallene udgør en mindre del af de naturlige tal. Gennem historien har mange matematikere været skeptiske ved at bruge uendelighedsbegrebet. Carl Friedrich Gauss (tysk matematiker 1777-1855), kaldet matematikkens fyrste, sagde: "Jeg afskyr, når et uendeligt objekt bruges som et begrænset objekt ... det uendelige er kun en talemåde." I anden halvdel af 1800-tallet arbejdede man med at få fast grund under matematikken. Man ville undgå uklare begreber, som fx "uendeligt små størrelser", de såkaldte infinitesimaler, som tidligere blev indført af Leibniz og Newton i analysen af kurver. Nye vigtige begreber og redskaber udvikledes inden for matematikken. Efter studier af talrækkefølger blev bl.a. grænseværdibegrebet samt strenge definitioner af begreberne derivat og integral indført. Yderligere blev det vigtige begreb funktion udviklet.

Georg Cantor (dansk-russisk-tysk matematiker 1845-1918) indførte begrebet mængde, og i vore dage beskrives matematikken endda som et værktøj til undersøgelse af strukturer blandt uens mængder. Tal er kun et af mange begreber, som analyseres. I sin analyse af tallene fandt Cantor ud af, at der findes forskellige størrelser af uendeligheder – hvilket kan lyde absurd. Mængden af naturlige tal, mængden af kvadrattal samt mængden af brøker (fx 1/2, 3/7, 19/13) er "lige store" eller med matematikkens sprog, har samme gyldighed eller kardinalpunkt og betegnes ℵ₀ (alef-nul, hvor alef er det første bogstav i det hebraiske alfabet). Men der findes tal, som ikke kan skrives som brøker, de såkaldte irrationelle tal. Cantor påviste, at man ikke kan parre alle tænkelige tal mellem 0 og 1 med de naturlige tal. Mængden af alle tal (som kaldes reelle tal) mellem 0 og 1 har en større gyldighed end mængden af naturlige tal. Man kan yderligere konstruere endnu større gyldigheder eller kardinaltal i en voksende rækkefølge uden slutning ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, ...).

Men ikke nok med det. Der findes forskellige slags uendelige tal, som i matematikken oftest kaldes transfinite tal. Cantor interesserede sig meget for ordinaltal, som ikke bare tager hensyn til antallet af objekter i en mængde, men også til, hvordan disse objekter er ordnede. Det viser sig, at ordinaltal og kardinaltal har forskellige egenskaber. I de senere år har man også konstrueret og studeret såkaldte hyperreelle tal⁴. Disse forskellige tal-begreber kan ikke sammenlignes med hinanden. Så vi ser, at der ikke bare findes en rækkefølge af større og større uendelige tal. Der findes også helt forskellige uendeligheder. Matematikken arbejder ofte med abstrakte begreber, som ikke kan gives nogen overskuelig tolkning. Man får let hovedpine, hvis man studerer alle disse tal-begreber. Cantor, som faktisk blev psykisk syg – måske til dels på grund af den uvilje og den hårde modstand han mødte fra en del samtidige matematikere – har udtrykt nogle for os specielt interessante synspunkter på uendeligheden (uendeligheder). Her følger nogle citater.

I Martinus' kosmologi spiller uendeligheden en stor rolle, men der er ikke så mange berøringspunkter med matematikkens uendelighed(er). Lad mig belyse det med nogle citater. "Når f. eks. en ært måler 5 millimeter i diameter, og solens diameter måler milliarder af gange denne størrelse, siger vi, at solen er meget større end ærten. Men da ærten kan deles i to halvdele, og hver halvdel igen kan deles i to halvdele og således fortsættende i det uendelige, idet vi aldrig kan komme til så lille en halvdel, at den ikke består af to halvdele, kommer vi her til uendeligheden. Da solen på samme måde også er uendelig i sin inddeling, er dens størrelse også uendelig. Ærtens størrelse er således som solens, og solens størrelse er som ærtens." (LB 6, stk. 1981)

Her viser Martinus, hvordan uendeligheden er utilgængelig for fornemmelse. Men ved hjælp af perspektivprincippet bliver det uendelige tilsyneladende endeligt og kan dermed fornemmes. Hvad er så uendeligheden i henhold til Martinus? "'Evigheden' og 'uendeligheden' er således i virkeligheden ikke blot og bart fremmede, fantastiske og uforståelige ting, der eksisterer uden for os selv, men er i absolut forstand selve "det levende" inde i os selv. Uendeligheden i tid og rum er det levende væsens eller vor egen generalanalyse." (Menneskeheden og verdensbilledet, kapitel 34). Og hvordan knytter Martinus denne uendelighed til matematikkens sprog? "Men da 'uendeligheden' er lige så stor en kendsgerning som "det begrænsede", må der også være et udtryk, hvormed man kan udtrykke denne kendsgerning. Og dette udtryk er inden for talsproget netop udelukkende kun tallet 'nul'." (LB 3, stk. 1013). Og endvidere om tallet nul: "Det udtrykker da intet mindre end hele verdensaltet, uendeligheden og evigheden." (LB 3, stk. 1023)

Så er vi tilbage i matematikken med det noget overraskende resultat, at tallet nul er et udtryk for uendeligheden. Der findes et sidestykke til de transfinite (uendelige) tal i form af de såkaldte infinitesimaler – ubegrænsede små tal, som dog er større end nul. De transfinite tal kan udtrykkes som 1/ε, hvor ε er en infinitesimal. Men nullet har en særpræget stilling inden for matematikken. Der findes ikke noget tilsvarende transfinit tal. Nul er en absolut størrelse. Jfr. citaterne af Cantor og Martinus.